Хорошие у них вопросики!

[Фредегар_Тук]

Детишки мои, в 9 классе, спросили меня, как составляются таблицы тригонометрических функций. Я, плохо представляя себе, чем там на самом деле пользовался г-н Брадис, в ответ предложил освоить элементарные методы, то есть попробовать вывести формулы для деления углов. Для начала, ясно, мы стали выводить геометрически чудесные формулы для двойного угла ну и пока остановились на этом.
Дома я решил подготовиться как следует и произвел из этих формул формулы для половины угла. Глубоко не задумываясь, пошел вчера в половине второго ночи выводить формулу для трети угла.
Рассуждения у меня были следующие: в таблицах угол шагает на 6', то есть на 0,1◦. Имея только формулу для половины угла я могу вывести синус 3◦ (например как разность 18◦ и 15◦ ), но не могу 1◦, само собой не могу и 5◦, и 7◦. Формула для трети угла мне позволит вычислить 1◦, а значит любой целый градус, а кроме того я смогу добраться, до точности в 10'. Точность в 6' мне в любом случае недоступна, для этого нужно выводить формулу для пятой части, что с моими педагогическими, а не практическими целями бессмысленно.

Естественно, через полчаса, когда явную формулу я сходу не вывел, я вспомнил про неразрешимость трисекции угла с помощью циркуля и линейки, из чего видимо должна следовать и невыполнимость этой задачи. Вспомнил и спать пошел.

Сегодня полез смотреть, что по этому поводу известно людям.
dxdy.ru/topic4371.html
И подумал: хорошие у моих детей вопросики! Теперь пойду искать, как Брадис считал. Интересно.

Апд. Ну, в общем, и так понятно, что не без разложения в ряд Тейлора. Общие слова. Я пока не пойму, какой нужно делать шаг между точками, в окрестности которых раскладываешь, чтобы с точностью до четвертого знака было хорошо.
Апд2. А впрочем этого не нужно. Достаточно произвести 30 вычислений с помощью ряда Маклорена (соответственно шагу в 6' от 0 до 3х градусов). Дальше провести меньше 30 вычислений от 3х градусов до 90 с шагом в 3 градуса. Видимо все это с точностью до 5го знака? (С точностью не совсем понятно, но думать лень). Ну а дальше остается складывать по формуле суммы — это еще что-то около 900 вычислений. Итого для одной тригонометрической функции 1000 вычислений.
Последний вопрос про ряд Маклорена: нужно ли заниматься переводом угла в радианы, и если нужно, то почему? Неясно.

Comments

[akater.livejournal.com]

Детей интересует, как сейчас считают? Или как в древности считали? Если бы меня спросили, как сейчас считают, я начал бы прояснять этот момент отсюда: en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_tables

Про древность ничего не скажу; надо очень любить вычисления, чтобы этим интересоваться.

Можно и спросить на Math.StackExchange, наверное. Только надо хорошо сформулировать вопрос. (StackExchange — «не место для дискуссий», и там приветствуются только вопросы, на которые можно дать точные ответы.) Зарегистрируйся, кстати, если ещё не. Рекомендую.

[Фредегар_Тук]

akater.livejournal.com, дети хотят иметь представление, как это вообще можно получить. И это уже больше мой личный вопрос, как этот материал раскрыть лучше.
А я, конечно, сторонник древней математики в обучении.

Спасибо за ссылку. Очень интересно.

[akater.livejournal.com]

Я прошу прощения за оффтоп, а в матшколах про решение квадратных уравнений каноническими непрерывными дробями рассказывают?

[Фредегар_Тук]

akater.livejournal.com, не знаю, рассказывают ли в мат.школах, но лично я увидел впервые.
Очень здорово. Можно рассказать — это красиво.

[akater.livejournal.com]

Я не вчитывался. Может, там чушь, кто знает? Квадратичные иррациональности (и только они) — это периодические канонические непрерывные дроби, но за корректность метода я не ручаюсь. Формальные манипуляции с непрерывными дробями, как я помню, довольно опасны: там легко что-то не то сделать.

[Фредегар_Тук]

akater.livejournal.com, не чушь, я же сказал красиво. Возможно, это педагогически красиво. В любом случае мне понравилось.
Педагогически потому, что большие дети почему-то привыкли, когда были маленькие, что все должно быть формально и одинаково, покажи только как, и мы будем переписывать это по сто раз в тетрадку. Любой новый способ чего-либо им выламывает одинаковость из голов.
Я однажды на одном "пропавшем" уроке, рассказывал троим про непрерывные дроби. Просто, что это такое, ну и про календарь, про золотое сечение там... Но серьезно в это не углублялся сам.
А это можно например рассказать семиклассникам; они уже умеют у меня решать квадратные уравнения с целыми корнями. Действительные числа можно пока не вводить (очень не хочется до тех пор пока в геометрии нет несоизмеримых отрезков) а подозрительные ответы уже получать.

[akater.livejournal.com]

> Действительные числа можно пока не вводить

Ну вот можно попробовать сказать, что действительные числа — это в точности непрерывные дроби. К сожалению, это алгоритмически неудобно (непонятно, как на раз-два считать, скажем, последовательность неполных частных суммы через последовательности неполных частных слагаемых), зато природа рационального, квадратично-иррационального и даже, гипотетически, трансцедентного, видна несравнимо лучше, чем сквозь призму десятичных дробей.

Отрезки, сечения Дедекинда и т. д., вообще ничего не объясняют, на мой вкус. Алгебра вещественной прямой, очевидно, несравнимо интереснее, чем её геометрия.