Важная Идея №2

[Фредегар_Тук]

В прошлом году в процессе общения с детьми из ФМШ, сформулировалась Важная Идея №1.
Оказалось, что дети плохо понимают неабсолютность системы координат и то, что меняя систему координат мы можем изменить, например уравнение графической фигуры.
Дальше здесь можно было плясать.

В этом году, опять таки в процессе общения с детьми (но уже 179ми), а также благодаря одному из постов akater.livejournal.com, оформилась Важная Идея №2, которая вчера обрела ясность.
Оказалось, что дети не просто не понимают, почему одни утверждения надо доказывать, а другие мы принимаем без доказательства (и в беседе с akater'ом я понял, что аксиому вообще вредно рассматривать как утверждение, но необходимо рассматривать как определение, причем "внешнее" определение объекта, связывающее объект с другими объектами; то есть объекты без этой аксиомы никаких свойств не имеют вообще: такие объекты например: число или точка, прямая и плоскость [в рамках классической геометрии прямую и плоскость через точку никак не объяснишь, эту проблему, по-крайней мере концептуально, решаеют только анализ бесконечно малые(?)]), но дети, более того, не понимают вообще, что такое "определение". Что значит - определить. Куда уж там говорить о том, что они путают "дано" с "доказательством".
Отсюда будем плясать

@темы: учусь учить, математика

Comments

[akater.livejournal.com]

> в рамках классической геометрии прямую и плоскость через точку никак не объяснишь,
> эту проблему, по крайней мере концептуально, решает только анализ бесконечно малых

Анализ в данном случае как раз ни при чём, совершенно. Анализ, насколько я понимаю, — это про некоторые локальные свойства функций и про сравнение скоростей сходимости.

Почему бы не определить векторные пространства, скажем, над полем рациональных чисел, и получить в результате желаемые определения точки, прямой и плоскости? Мне кажется, должно получиться. (По-хорошему, надо от векторных переходить к аффинным пространствам, «снимая» с нуля его особые свойства, но я не представляю, как долго это всё будет в таком случае длиться.)

[Фредегар_Тук]

Нет, я неверно выразился пожалуй.
Не анализ, конечно, но само понятие бесконечно-малых. Я имею ввиду проблему перехода от точки к прямой, от прямой к плоскости, от плоскости к пространству.
Или, по-другому скажем, откуда появляется длина, если у точки длины нет? Значит ли это, что отрезок состоит не только из точек? Разве это не та проблема, которую решают бесконечно малые? Отсюда и строгое определение площади, объема.
Для "школьной", то бишь греческой геометрии эта проблема принципиальна, а греки ее обошли аксиоматикой.
-----------
Ну, это совершенно не школьный подход. Ведь у школьной геометрии задачи несколько шире, чем просто математическая строгость.
Если все задачи можно сразу решить векторно, то какой смысл в классическом доказательстве?
А кроме того, подход этот не очень естественный. Это может быть просто непонятно детям.

[akater.livejournal.com]

> Или, по-другому скажем, откуда появляется длина, если у точки длины нет?

Пока отрезки прямые, никаких бесконечно малых тоже не нужно. А длина «появляется» оттого, что мера лишь счётно-аддитивна: можно сказать, что не существует процедуры, позволяющей сложить длины точек, из которых составлен отрезок, стандартным образом (то есть, через последовательные приближения).

Кстати, если определить векторные пространства и объяснить, что такое размерность, эти вопросы отпадут сами собой, мне кажется: фигуры разных размерностей сравниваются с совершенно разными эталонами объёма. Кстати, показывать алгебру де Рама на плоскости, начиная как тут, очень полезно, я думаю. Уж всяко от понятия внешнего произведения двух векторов будет больше толку, чем от бездн стереометрической жути.

> у школьной геометрии задачи несколько шире, чем просто математическая строгость

«Шире»? То есть, строгость в эти задачи включается? И насколько, интересно, строга та геометрия, которую рассказывают в школе? Я подозреваю, что она вообще не обладает этим достоинством. Но если строгость на самом деле не нужна, а нужно показать красивые рисунки и красивые приёмы, то можно честно сказать: ребята, математика наука строгая, но то, чем мы занимаемся, это ещё не строго.

> Если все задачи можно сразу решить векторно, то какой смысл в классическом доказательстве?

Не знаю. Я этого и в школе не понимал. Разве что в пресловутых красивых рисунках смысл.

[Человекупонятная]

Если все задачи можно сразу решить векторно, то какой смысл в классическом доказательстве?

Потому что они развивают детей! Заставляют их думать пространственно!

Вообще школа должна учить детей думать в первую очередь. Поскольку всё основное забывается, если не пользоваться!

_______________________________________________________________________________________________________

По поводу "Дано", "Найти"("Доказать") и "Решение"("Доказательство"): Я начала это понимать в школе, когда стала всё расписывать.
Геометрию вообще нужно всю раставлять по полочкам, иначе можно запутаться.
Пока в голове каша - ничего не выйдет! (Ну кроме сложных задач на подобие, в них насколько я помню, все соотношения нужно было расписывать, которые видишь, иначе труба, потом может что и вырисовывается).

_______________________________________________________________________________________________________

Всю важность аксиом в школьные годы я поняла, когда папа мне рассказал про теорию Лобачевского и я прочитала о ней буквально страничку из школьного справочника по математике (там были только основные идеи).