Сон разума рождает чудовищ...

[Фредегар_Тук]

Точнее повышенная температура мозга привела меня к некоторой несостыковке.

Открытый шар с центром x0, радиусом r - это
Or={такие точки x из пространства,что расстояние между центром шара x0 и точкой d(x,x0)<r}

Мы как-то доказывали на семинаре, что открытый шар - есть открытое множество =))
Собственно это чушненция мне никогда не нравилась, однако по Колмогорову это отнюдь не очевидно.

Открытое множество - это множество, у которого все точки внутренние =)
То есть чтобы доказать, что открытый шар - открытое множество, нужно доказать, что все точки шара - внутренние.

Теперь смотрим определение внутренней точки:
x0 - внутрення точка множества А, если она входит в А с некоторой e-окрестностью.
Теперь смотрим, что такое окрестность. e-окрестность точки x0 - это
Oe={такие точки x из пространства,что расстояние между x0 и точкой d(x,x0)<e}


Причем Шур отдельно словами выделял в лекции, что открытый шар и окрестность x0 - это одно и тоже. Точнее высказывание было приблизительно такое: "открытый шар иногда называют окрестностью". Вот я о чем задумался.))

Я конечно все это выучил давно, но меня все равно смущает все это доказательство того, что открытый шар - открытое множество.)))

Comments

что-то тебя занесло...

[rscprof]

А где конец доказательства-то?

[Фредегар_Тук]

Мм...) Доказательства тут не было.

Я просто не понимаю, как можно вообще доказывать то, что открытый шар - открытое множество, если открытое множество определяется через открытые шары.
_____________________________________

Само доказательство таково:
Мы берем некоторую точку из шара, такую, что расстояние от центра до этой точки d(x0,z)<e
С центром в этой z возьмем новый шар Oe1, где e1=r-e.
У нас шар Oe1 лежит в первоначальном шаре Or.
В шаре Oe1 мы возьмем точку y.
d(x0,y) =< d(x0,z) + d(z,y) - неравенство треугольника. d(x0,z)<e , d(z,y)<e1=r-e.
Значит d(x0,y)<r

Фактически это и означает, что какую бы мы точку z из шара не взяли, она будет располагаться в шаре с некоторой окрестностью. Значит открытый шар - открытое множество.
_____________________________________

[Гость]

Ты запутался на ровном месте (. Всё правильно, просто нужно к определениям подходить аккуратнее, по порядку. Каждый шаг абсолютно логичен и законен. Итак, все с самого начала:
1. Берем любой множество (например, множество студентов МИЭМа). Назовем его X.
2. Определяется расстояние (число) между любыми двумя точками множества так, чтобы оно удовлетворяло 3м известным аксиомам.
3. Определяем r-окрестность некоторой точки A - множество таких точек B пространства, что расстояние d(A,B)<r.
4. Определяем внутреннюю точку для некоторого множества: Пусть дано множество A. Точка x из этого множества является внутренней, если существует окрестность нашей точки x, такая, что она вся лежит в A. Всё вполне законно и логично.
5. Множество является открытым, если все его точки внутренние.
6. Открытый шар, ну у тебя правильно определен. Вот все определения.


Я просто не понимаю, как можно вообще доказывать то, что открытый шар - открытое множество, если открытое множество определяется через открытые шары.
Чушь собачья. Где ты видел открытые шары в определении открытого множества??
Окрестность - это просто множество точек, со свойством.
Тебя запутало название "Открытый шар". Забей на название, попробуй назвать открытый шар по-другому, например, "чичикака".

Итак, Чичикака - множество точек, со свойством ... . Остальные определения те же.
Докажи, что Чичикака - открытое множество?

[Человекупонятная]

Гость, ты отнимаешь мой хлеб!!!!
Ето я мастер гребанных примеров!!!

Мой респект тебе!

[Фредегар_Тук]

Да в том то и дело, что как не назови, проблема в том, что определение чичикаки и окрестности все равно совпадают. Проблема-то в том, что совпадают два определения, а не как мы назовем что-либо. =)) о.О

[rscprof]

Ты доказываешь, что принимая любую точку большого шара как центр малого шара, можно "нарисовать" маленький шар, полностью вмещающийся внутри большого.

Открытый шар - это ровно один шар, а когда мы говорим об открытом множество мы имеем дело с бесконечным количеством открытых шаров.

[Manyasha_unique]

мне влом вчитываться во всё это. ибо устала, только что приехала с дачи. но тук, ты пахнешь новым Колмагоровым)

[Человекупонятная]

Тук! ты просто шизофреник. И я давно уже боюсь те что-то обьяснять (а точнее с первого семестра - Теорему о единственности предела я теперь не скоро забуду). Ты привязываешься к таким мелочам, что мои нервы не выдерживают! вот я не верю что ты не понимаеш логики!

мы еще в матане дали определение епсилон-окрестности, там тя почему то не смущало, что ето просто тупо открытый интервал.

потом в функции двух переменных епсилон-окрестнастью была открытая окружность и ето тя тоже не смущало. а теперь те просто не чем занятся и ты придираешся. мы просто тупо ето обощаем щас!

ДА!
1)епсилон-окресность ето *(формула).
2)внутренняя точка дается наложение на * определенных условий. 3)открытое мн-во дается через внутренние точки, т.е. опять таки наложенмием на * условий.

так вот! из етих трех условий совсем не следует на прямую, что *-открытое мн-во.
А значит ето нужно доказать!

Так вот доказывай! И не еби всем мозг!

[.Енот]

и вообще, хватит в дневниках сидеть, ты палишься через главную страницу. Иди учись!